SG函数：

给定一个有向无环图和一个起始顶点上的一枚棋子，两名选手交替的将这枚棋子沿有向边进行移动，无法移 动者判负。事实上，这个游戏可以认为是所有Impartial Combinatorial Games的抽象模型。也就是说，任何一个ICG都可以通过把每个局面看成一个顶点，对每个局面和它的子局面连一条有向边来抽象成这个“有向图游戏”。下 面我们就在有向无环图的顶点上定义Sprague-Garundy函数。首先定义mex(minimal excludant)运算，这是施加于一个集合的运算，表示最小的不属于这个集合的非负整数。例如mex{0,1,2,4}=3、mex{2,3,5}=0、mex{}=0。

在我的理解中，sg函数就是一个对有向无环图dfs的过程，在处理nim博弈时，多个石堆可以看成多个sg函数值的异或。

例题：

POJ2311 Cutting Game

典型的sg博弈，找后继状态。题意是给出一个n*m的纸片，每次剪成两部分，谁先剪到1*1就胜利。这就是一个找后继的题目，每次剪成的两部分就是前一状态的后继，只要将两个部分的sg值异或起来就是前一状态的sg值。

 

#include
    
     #include
     
      #include
      
       #include
       
        #include
        
         #include
         
          #include
          
           #include
           
            #include
            
             #define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))#define FOR(a,b,i) for(i=a;i<=b;++i)#define For(a,b,i) for(i=a;i
             
              '9'); ret=c-'0'; while((c=getchar())>='0'&&c<='9') { ret=ret*10+(c-'0'); }}inline void OT(int a){ if(a>=10) { OT(a/10); } putchar(a%10+'0');}int sg[201][201];int dfs(int a,int b)//sg函数的一般写法{ if(sg[a][b]>=0) { return sg[a][b]; } int i,map[201],r;//map标记数组一定要在dfs内部定义，不然会出现错误 mem(map,0); FOR(2,(a/2),i) { r=dfs(i,b)^dfs(a-i,b);//后继的异或得到前一状态的sg值 map[r]=1; } FOR(2,(b/2),i) { r=dfs(a,i)^dfs(a,b-i); map[r]=1; } FOR(0,200,i) { if(map[i]==0) { return sg[a][b]=i;//mex公式的应用 } }}int main(){ int n,m,sum; mem(sg,-1); while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF) { sum=dfs(n,m); if(sum>0) { printf("WIN\n"); } else { printf("LOSE\n"); } } return 0;}
             
            
           
          
         
        
       
      
     
    

 

 

POJ2425 A Chess Game

题意是给你一个拓扑图，一个起点上的n个棋子，两个玩家交替移动棋子，谁无法移动谁输，典型的sg函数运用。套用模板就行了。此题数据量较大，加入了输入优化后刷到了第一版第四名，nice!

 

#include
    
     #include
     
      #include
      
       #include
       
        #include
        
         #include
         
          #include
          
           #include
           
            #include
            
             #define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))#define FOR(a,b,i) for(i=a;i<=b;++i)#define For(a,b,i) for(i=a;i
             
              '9'); ret=c-'0'; while((c=getchar())>='0'&&c<='9') { ret=ret*10+(c-'0'); }}inline void OT(int a){ if(a>=10) { OT(a/10); } putchar(a%10+'0');}int vis[1001][1001],sg[1001];int n;int dfs(int x)//典型的sg过程{ int i; if(sg[x]!=-1) { return sg[x]; } int f[1001]; mem(f,0); For(0,n,i) { if(vis[x][i]!=-1) { f[dfs(i)]=1; } } i=0; while(f[i]) { i++; } return sg[x]=i;}int main(){ int i,j,k,t,x,p,sum; while(scanf("%d",&n)!=EOF) { mem(vis,-1); mem(sg,-1); For(0,n,i) { RD(k); if(k==0) { sg[i]=0; } For(0,k,j) { RD(t); vis[i][t]=1;//建图 } } while(1) { RD(x); if(x==0) { break; } sum=0; For(0,x,i) { RD(p); sum^=dfs(p); } if(sum!=0) { printf("WIN\n"); } else { printf("LOSE\n"); } } } return 0;}
             
            
           
          
         
        
       
      
     
    

POJ2068 Nim

 

题意是圆桌上有2n个人，奇数一队，偶数一队，每个人都有一个拿走棋子的最高限额，问你最后1对能否获胜。

还是用强大的sg函数过的，记录下每个状态的sg。

 

#include
    
     #include
     
      #include
      
       #include
       
        #include
        
         #include
         
          #include
          
           #include
           
            #include
            
             #include 
             
              #include
              
             
            
           
          
         
        
       
      
     
    

POJ3537 Crosses and Crosses

 

题意：给出一个1*n的矩形，上面有n个方格，现有两人分别在上面画×，谁先能画出三个×相连就赢了。这就是一个sg函数的母问题转化为子问题的题目，由于在第x位置画了×后，则就转变成(x-3)个格子画×和(n-x-2)个格子画×。。。这就能不断的分解下去，最后将所有sg值异或起来就是正解了。

 

#include
    
     #include
     
      #include
      
       #include
       
        #include
        
         #include
         
          #include
          
           #include
           
            #include
            
             #include 
             
              #include
              
             
            
           
          
         
        
       
      
     
    

POJ2599 A funny game

 

记忆化搜索，这题的博弈味道不浓，更多的是搜索。题意是给一个图，两人轮流移动，走过的节点不能再走。水题，dfs+标记就行。

 

#include
    
     #include
     
      #include
      
       #include
       
        #include
        
         #include
         
          #include
          
           #include
           
            #include
            
             #define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))#define FOR(a,b,i) for(i=a;i<=b;++i)#define For(a,b,i) for(i=a;i
             
              '9'); ret=c-'0'; while((c=getchar())>='0'&&c<='9') { ret=ret*10+(c-'0'); }}inline void OT(int a){ if(a>=10) { OT(a/10); } putchar(a%10+'0');}int n,v[1001][1001],vis[1001];int dfs(int x){ int i; FOR(1,n,i) { vis[x]=1; if(v[i][x]&&!vis[i]) { if(!dfs(i)) { vis[x]=0; return i; } } vis[x]=0; } return 0;}int main(){ int m,i,a,b; while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF) { mem(v,0); mem(vis,0); FOR(1,n-1,i) { RD(a); RD(b); v[a][b]=v[b][a]=1; } i=dfs(m); if(i!=0) { printf("First player wins flying to airport %d\n",i); } else { printf("First player loses\n"); } } return 0;}